유한 수학 예제

$x^{5} - 25 x^{3} < 0$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{5} - 25 x^{3} = 0$

단계 2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{5} - 25 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x^{5}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} x^{2} - 25 x^{3} = 0$

단계 2.1.2

$- 25 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25 = 0$

단계 2.1.3

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} (x^{2} - 25) = 0$

단계 2.2

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} (x^{2} - 5^{2}) = 0$

단계 2.3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$x^{3} ((x + 5) (x - 5)) = 0$

단계 2.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{3} = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

단계 4

$x^{3}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x^{3}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{3} = 0$

단계 4.2

$x^{3} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

단계 4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 4.2.2.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 5

$x + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 5 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x = - 5$

단계 6

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 7

$x^{3} (x + 5) (x - 5) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 5, 5$

단계 8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

단계 9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$x < - 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$x < - 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 8$

단계 9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 8$ 로 치환합니다.

${(- 8)}^{5} - 25 {(- 8)}^{3} < 0$

단계 9.1.3

좌변 $- 19968$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.2

$- 5 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$- 5 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

${(- 2)}^{5} - 25 {(- 2)}^{3} < 0$

단계 9.2.3

좌변 $168$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.3

$0 < x < 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$0 < x < 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

${(2)}^{5} - 25 {(2)}^{3} < 0$

단계 9.3.3

좌변 $- 168$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.4

$x > 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

$x > 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 8$

단계 9.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $8$ 로 치환합니다.

${(8)}^{5} - 25 {(8)}^{3} < 0$

단계 9.4.3

좌변 $19968$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 5$ 참

$- 5 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 5$ 참

$x > 5$ 거짓

$x < - 5$ 참

$- 5 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 5$ 참

$x > 5$ 거짓

단계 10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 5$ 또는 $0 < x < 5$

단계 11

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \infty, - 5) \cup (0, 5)$

단계 12